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Les mathématiques (du grec μάθημα (máthēma) signifiant « connaissance, science ») constituent un domaine de connaissance construit par des raisonnements hypothético-déductifs, relativement à des concepts tels que les nombres, les figures, les structures ou les transformations. Elles servent aussi à modéliser des phénomènes naturels et humains variés, comme le mouvement, le climat, ou l'efficacité d'un médicament. L'appellation « mathématiques » désigne aussi le domaine de recherche visant à développer ces connaissances et ces applications, ainsi que la discipline qui les enseigne.
Historiquement, les premiers travaux mathématiques ont concerné l'extraction des racines carrées ou cubiques, la résolution d'équations polynomiales, la trigonométrie, le calcul fractionnaire, ou l'arithmétique des entiers naturels. À l'époque médiévale, les mathématiciens des Pays d'Islam ont favorisé l'interfécondation des traditions antiques et des découvertes chinoises et indiennes, tout en produisant de nombreuses innovations, de l'algèbre à l'optique géométrique.
La Renaissance européenne a vu se développer les calculs algébrique et infinitésimal, suite aux travaux de François Viète, René Descartes, Isaac Newton et Leibniz. Au cours du XVIII^e siècle et du XIX^e siècle, ce développement s'accéléra avec l'introduction de nouvelles structures, abstraites, notamment :

• les groupes suite aux travaux d'Augustin Louis Cauchy et d'Évariste Galois sur les substitutions (permutations particulières) et les équations polynomiales ;
• les anneaux suite aux travaux de Richard Dedekind,
• ou encore les ensembles et les nombres transfinis suite aux réflexions de Georg Cantor.

L'exploration de l'axiomatique conduira le XX^e siècle à tenter de ramener toutes les mathématiques à un langage, celui de la logique. Par ailleurs, le XX^e siècle a connu une croissance explosive des mathématiques, avec une spécialisation des domaines et la naissance ou l'approfondissement de nombreuses branches nouvelles (par exemple : théorie de la mesure, analyse spectrale, topologie algébrique et géométrie algébrique,…). Toujours au même siècle, l'apparition de l'informatique a eu un impact non négligeable sur la recherche en mathématiques et réciproquement.

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Réalisation du ruban de Möbius, à partir du collage d'une bande de papier. Le « bord » n'est que d'un seul tenant.

Une variété est un espace topologique abstrait, construit par recollement d'autres espaces simples. Comme les enfants s'amusent à construire avec du papier des tétraèdres, des cubes et autres polyèdres en dessinant la figure d'un patron sur une feuille blanche, en découpant convenablement les bords, en pliant et en recollant, les mathématiciens obtiennent un cercle en repliant un segment sur lui-même, un cylindre ou un cône en repliant une bande plane sur elle-même. Un autre exemple classique est le ruban de Möbius illustré ci-contre (en toute rigueur exemple de variété à bord). Il est également possible de rajouter des anses à une sphère.

Parmi les variétés les plus simples figurent les courbes et surfaces du plan et de l'espace euclidien. Traditionnellement définies par des équations, elles s'obtiennent toutes, au même titre que les polyèdres, à partir d'un « patron » plan et d’« instructions de collage ». C'est là le mode de définition général des variétés.

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Augustin Louis, baron Cauchy, né à Paris le 21 août 1789 et mort à Sceaux (Hauts-de-Seine) le 23 mai 1857, est un mathématicien français, membre de l’Académie des sciences et professeur à l’École polytechnique. Catholique fervent, il est le fondateur de nombreuses œuvres chrétiennes, dont l’Œuvre des Écoles d’Orient. Royaliste légitimiste, il s’exila volontairement lors de l’avènement de Louis-Philippe, après les Trois Glorieuses. Sa position politique et ecclésiastique lui valut nombre d’oppositions.

Il fut l'un des mathématiciens les plus prolifiques, derrière Leonhard Euler, avec près de 800 parutions et sept ouvrages ; sa recherche couvre l’ensemble des domaines mathématiques de l’époque. On lui doit notamment en analyse l’introduction des fonctions holomorphes et des critères de convergence des séries et des séries entières. Ses travaux sur les permutations furent précurseurs de la théorie des groupes. En optique, on lui doit des travaux sur la propagation des ondes électromagnétiques.

Son œuvre a fortement influencé le développement des mathématiques au XIX^e siècle. La négligence dont fit preuve Cauchy envers les travaux d'Évariste Galois et de Niels Abel, perdant leurs manuscrits, a cependant entaché son prestige.

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